|
.::
İSPAT TEKNİKLERİ ::.
Örnek
11
: Hk = 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + ... +
(1/k) ve k=1,2,3,... olmak üzere Hk
ifadesini (Harmonik sayılar) ele alalım. Burada P(n)=H2n
>= 1+(n/2) sağlandığını gösterin.
İspat
11
: Burada dikkat edilirse bize verilen Hk
harmonik dizisinin elemanları k=1,2,3,... olarak verilmiştir.
O zaman biz önce önermenin H1 için sağlandığını
görmeliyiz. Önermede
P(n)=H2n
olarak verildiğinden ilk adım olarak n=0 almalıyız. Öyleyse
ilk adımla ispata başlayalım;
n=0
için :
P(n) = H2n
olduğundan P(0)
= H20
= H1
= 1 yani P(0)=1 dir.
p(n) >=
1+(n/2) olduğunu göstermek istediğimizden;
p(0)
= 1 >= 1+(0/2) = 1 olduğundan n=0 için p(n) >=
1+(n/2) eşitsizliği sağlanır.
n=k
için önerme doğru olsun :
H2k
= 1 + (1/2) + (1/3) + ... + (1/2k) >= 1 +
k/2 eşitsizliği sağlanmış olsun.
n=k+1 için
:
H2(k+1)
= 1 + (1/2) +
(1/3) + ... + (1/2(k+1)) >= 1 + (k+1)/2
olduğunu gösterebilirsek ispat tamamlanacaktır.
H2(k+1)
= 1 + (1/2) + (1/3) +...+ (1/2k) + (1/2k + 1)
+...+ (1/2k+1)
Şeklide H2(k+1)
ifadesini açarız. (Burada k ların değil, paydadaki
ifadelerin 1 er 1 er arttırılarak terimlerin bulunduğuna
dikkat ediniz). Bu açılımın terimlerine dikkat edelim.
Terimlerin (1/2k + 1) +...+ (1/2k+1)
olan parçasını ele alalım. Bu parça içinde toplam 2k
adet terim vardır ve bu terimlerin paydaları 1 er 1 er
arttırıldığından terimler git gide küçülmektedir. Öyleyse
bu ele aldığımız parçanın en küçük terimi en
sondaki (1/2k+1) olacaktır. O zaman biz bu 2k
adet terimin tamamını (1/2k+1) olarak yani en küçükleri
olarak alırsak, ele aldığımız parçanın değeri küçülür.
(Yani ele aldığımız terimler parçasındaki tüm
terimler yerine bu parçadaki en küçük terimi yazarak,
terimler parçamızın değerini küçültüyoruz). 2k
adet (1/2k+1) ifadesi yani;
2k.(1/2k+1)=(1/2)
ele aldığımız terimler parçasından küçük olacaktır.
Bunu H2(k+1)
nın açılımında yerine koyarsak;
H2(k+1)
>= 1 + (1/2) + (1/3) + ... + (1/2k) + (1/2)
elde
edilir. Kabulümüzden kırmızı ile yazılan (1/2) nin
solunda kalan terimler toplamının da yani;
1 + (1/2) + (1/3) + ... + (1/2k) >= 1 +
k/2 olduğunu bildiğimize göre H2(k+1)
nın açılımında yerine koyarsak;
H2(k+1)
>= 1 + k/2 + (1/2) elde
edilir. Bu ifadeyi de düzenleyerek;
H2(k+1)
>= 1 + k/2 + (1/2) = 1 + (k+1)/2 yani;
H2(k+1)
>= 1 + (k+1)/2 elde edilir. Bu da aramış olduğumuz
şarttır. Öyleyse n=k+1 için de önermenin sağlandığını
gösterdiğimiz için bu önermeyi de ispatlamış oluyoruz.
Görüldüğü gibi vermiş olduğumuz bu 4 ispat tekniği
kullanılarak çeşitli ispatlar yapılabilmektedir. Yaklaşımları
ve eldeki bilgiyi kullanış biçimleri farklı da olsa
temelde bu 4 tekniğe dayalı olarak matematikte teorem ve
önermelerin ispatları gösterilebilir.
Uyarı
: Bu
yazı metninin kullanım hakları matematikce sitesi ve
sahibi Gültekin Buzkan'a aittir. Ziyaretçilerin
faydalanması ve araştırma yapanlara yardımcı olabilmek
amacıyla konulmuştur. Bunun dışında başka bir sitede
izinsiz kullanımı yasaktır.
|
4. Sayfa
