|
.::
İSPAT TEKNİKLERİ ::.
Örnek
8
: 1 + 3 + 5 + ... + 2n-1 biçimindeki
sayıların toplamının n=1,2,3,4,5,... tamsayılarının
herbiri için n2 olduğunu gösteriniz.
İspat
8
: Tümevarım tekniği ile ispatı yapılabilen
toplam serileri üzerine iyi bilinen örneklerden biridir. Tekniğe göre ilk adım olarak
"1" için önermenin doğruluğunu görelim;
n=1
için : n=1 için bakacak olursak serinin toplamı 1
olacaktır. Sonuçta
1 = 12 olduğundan n=1 için önerme
doğrudur.
n=k için önerme doğru olsun : Yani 1
+ 3 + 5 + ... + 2k-1 = k2 olsun.
n=k+1 için
: n=k+1 için önermenin doğru olduğunu göstermek için;
1
+ 3 + 5 + ... + 2(k+1)-1 = (k+1)2 olduğunu göstermeliyiz.
Burada eşitliğin sol tarafındaki en son terimden bir önceki
terim de yazılacak olursa;
1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 +
2(k+1)-1 = (k+1)2 olduğunu göstermek istiyoruz.
Bir önceki adımdaki kabulümüzden dolayı;
1 + 3 + 5 +
... + 2k-1 = k2 olduğunu biliyoruz. Bunu yerine
yazarsak
1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 +
2(k+1)-1 = k2 + 2(k+1)-1 olacaktır. Bunun da (k+1)2
ye eşit olduğunu göreceğiz.
k2 + 2(k+1)-1 = k2 +
2k + 1 = (k+1)2 dir.
Böylece önermenin k için
doğru olduğunu kabul ederek k+1 için de sağlandığını
göstermiş ve genel anlamda ispatlamış oluyoruz.
Örnek 9
: Bazı pozitif n tamsayıları için
22n -1 in 3 ün katı olduğunu gösterin.
İspat
9
: Bu önerme de tümevarım ile kolaylıkla gösterilebilir.
n=1
için : 22n
-1 =
22.1 -1 =
22 -1 = 4 - 1 = 3 olur. Yani 3 ün bir katıdır.
Öyleyse n=1 için önerme sağlanır. Şimdi n=k için sağlandığını
kabul edip, n=k+1 için inceleyelim;
n=k
için önerme doğru olsun : Yani n=k için
22n -1, 3 ün bir katı olmuş olsun. Bunu
öyle bir m tamsayısı için
22k -1 = 3m (*) olarak gösterelim.
n=k+1
için :
22(k+1) -1 ifadesinin 3 ün bir katı olduğunu göstermemiz
gerekiyor. Bu ifadeyi açacak olursak;
22(k+1) -1 =
22k+2 -1 =
22k.22 -1 = 4.22k
-1 (**) elde ederiz. Kabulümüzden, yani (*) dan 22k yı çekersek;
22k -1 = 3m dediğimizden
22k = 3m + 1 elde ederiz. Bunu (**) ifadesinde
yerine yazarsak;
22(k+1) -1 = 4.22k
-1 = 4.(3m+1) - 1 = 12m + 4 - 1 = 12m + 3
12m + 3 ifadesini de 3 parantezine alırsak 3(4m+1)
elde edilir. Burada 4m+1 ifadesi bir tamsayı olacağına göre,
buna p gibi bir tamsayı dersek;
22(k+1) -1 = 12m + 3 = 3p olacaktır. Öyleyse
22(k+1) -1 ifadesi 3 ün bir katıdır. Böylece
n=k+1 için de önermenin doğruluğunu ispatlamış olduk.
O zaman tümevarım ile bu önermenin genel olarak sağlandığını
söyleyebiliriz.
Tümevarım
tekniğinin kullanımı üzerine başta açıklama yaparken
her ispatta ilk adım olarak n=1 almak zorunda olmadığımıza,
n=2 , 3 veya önermeye göre başlangıç için farklı
tamsayılar alabileceğimize deyinmiştik. Şimdi bunun üzerine
bir önermenin ispatını verelim.
Örnek
10
: 2 den büyük ve eşit tamsayılar için n2
> n+1 eşitsizliğinin sağlandığını gösterin.
İspat
10
: Burada
başlangıç adım olarak 2 seçmemiz gerekiyor, çünkü önermemizin
2 den büyük tamsayılar için sağlandığını ispat
etmemiz isteniyor.
n=2 için : n2
> n+1 olduğunu görmeliyiz.
n2
= 22
= 4 > 3 = 2+1 = n+1 olduğundan n2
> n+1 eşitsizliği n=2 için sağlanır.
n=k
için önerme doğru olsun : n=k için n2
> n+1 özelliği sağlanıyor olsun, yani k2
> k+1 eşitsizliğinin sağlandığını kabul
edelim.
n=k+1 için : (k+1)2
> (k+1)+1 sağlandığını göstermeliyiz. Eşitsizliğin
sol tarafındaki kare ifadeyi açalım;
(k+1)2
= k2
+ 2k + 1 elde edilir. Kabulümüzden k2
> k+1 olduğundan, k2 yerine ondan daha küçük
olan k+1 yazarsak;
(k+1)2
> k2
+ 2k + 1 > (k+1) + 2k + 1 = 3k + 2 elde ederiz. Burada k
değişkenimiz, 2 den büyük veya eşit bir tamsayı olduğundan
3k yerine k yazdığımızda ifademiz küçülecektir. Öyleyse;
(k+1)2
> 3k + 2 > k + 2 = (k+1) + 1 elde ederiz. Böylece
n=k+1 için de aradığımız özellik olan (k+1)2
> (k+1)+1 özelliği sağlanmış olur, ispat tamamlanır.
Görüldüğü gibi tümevarım kullanılarak, bize verilen
önermenin genel olarak sağlanıp sağlanmadığını
ispatlayabiliyoruz. Son örnek olarak sizlere yine tümevarım
tekniği ile ispatlanan ancak az önce yaptığımız örneklere
nazaran biraz daha düşünme gerektiren bir önerme vermek
istiyorum.
|
3. Sayfa
